Coordenadas Homogéneas

Las coordenadas homogéneas permiten representar conjuntamente la posición. Un vector $M$ tiene tres coordenadas ($x, y, z$) en el espacio, mientras que en el espacio n-dimensional tendrá cuatro coordenadas ($M_x, M_y, M_z, k$), donde $k$ representa un valor de escala. Este vector se puede representar en coordenadas homogéneas de la siguiente manera:

$$M = \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\,k\\ b\,k\\ c\,k\\ k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\\ 1\end{bmatrix}$$

El vector $M$ será $M = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$, donde $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ son los ejes unitarios correspondientes a los ejes $\overrightarrow{OX}$, $\overrightarrow{OY}$, $\overrightarrow{OZ}$.

Ejemplo

Si tienes un vector

$$M = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$$

sus coordenadas homogéneas serían $[4, -2, 5, 1]$. Si este vector se multiplica por tres, las coordenadas resultantes $[12, -6, 15, 3]$ también serán coordenadas homogéneas del vector $M$.