Cuaternios

Los cuaternios son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Presentan cuatro coordenadas y ofrecen ventajas sobre otros métodos de descripción espacial, ya que tienen una composición simple y son eficientes. Sin embargo, solo representan la orientación relativa. Empresas como ABB utilizan cuaternios en la robótica.

Un cuaternio se representa de la siguiente manera:

$$Q = q_{0}e + q_{1}i + q_{2}j + q_{3}k = (s, v)$$

donde s es la parte escalar y v es la parte vectorial.

Propiedades

Los cuaternios tienen las siguientes propiedades para realizar transformaciones:

• Conjugación: El conjugado de un cuaternio se obtiene invirtiendo el signo de su parte vectorial, manteniendo la parte escalar: $$Q' = (q_{0}, -q_{1}, -q_{2}, -q_{3}) = (s, -v)$$
• Producto: El producto entre dos cuaternios $Q_{1}$ y $Q_{2}$ se define como: $$Q_{1} \cdot Q_{2} = (s_{1}, v_{1}) \cdot (s_{2}, v_{2}) = (s_{1}s_{2} - v_{1}v_{2}, v_{1}v_{2} + s_{1}v_{2} + s_{2}v_{1})$$
• Suma: La suma de dos cuaternios $Q_{1}$ y $Q_{2}$ se define como: $$Q_{1} + Q_{2} = (s_{1}, v_{1}) + (s_{2}, v_{2}) = (s_{1} + s_{2}, v_{1} + v_{2})$$
• Producto escalar: El producto escalar de un cuaternio $Q_{1}$ por un escalar $k$ se define como: $$kQ_{1} = k(s_{1}, v_{1}) = (ks_{1}, kv_{1})$$
• Norma: La norma de un cuaternio $Q$ se calcula como la raíz cuadrada del producto de $Q$ por su conjugado $Q'$: $$||Q|| = \sqrt{Q \cdot Q'} = \sqrt{q_{0}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2}}$$
• Inverso: El inverso de un cuaternio Q no nulo se calcula dividiendo su conjugado por su norma al cuadrado: $$Q^{-1} = Q' / ||Q||^{2}$$

Representación y Composición de Rotaciones

• Representación: Un cuaternio puede representar una rotación de un ángulo $ϕ$ alrededor de un eje $a$: $$Q = rotación(a, ϕ) = (\cos(ϕ/2), a*\sin(ϕ/2))$$
• Rotación de un vector: Para rotar un vector $p$ usando un cuaternio $Q$, se aplica la siguiente operación: $$p' = Q \cdot (0, p) \cdot Q^{-1}$$
• Composición: La composición de rotaciones se logra multiplicando los cuaternios correspondientes. Esto tiene la ventaja de ser simple ya que solo involucra la multiplicación de cuaternios.

Relación con Otros Métodos

Los cuaternios son equivalentes a las matrices de transformación homogénea, pero se usan de manera diferente. Es posible pasar de cuaternios a matrices de transformación homogénea y viceversa mediante la representación auxiliar intermedia del eje y ángulo de rotación.

• Relación directa: La matriz de transformación se puede expresar en función de un cuaternio $Q$:

  $$T = \begin{bmatrix} q_{0}^{2} + q_{1}^{2} - \frac{1}{2} & q_{1}q_{2} - q_{3}q_{0} & q_{1}q_{3} + q_{2}q_{0} & 0 \\ q_{1}q_{2} + q_{3}q_{0} & q_{0}^{2} + q_{2}^{2} - \frac{1}{2} & q_{2}q_{3} - q_{1}q_{0} & 0 \\ q_{1}q_{3} - q_{2}q_{0} & q_{2}q_{3} + q_{1}q_{0} & q_{0}^{2} + q_{3}^{2} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix}$$

• Relación inversa: Se puede obtener la relación inversa igualando la diagonal de la matriz $T$ anterior, obteniendo:

  $$\begin{array}{ccl} q_{0} &=& \frac{1}{2} \sqrt{T_{1} + T_{2} + T_{3} + 1} \\ q_{1} &=& \frac{1}{2} \sqrt{T_{1} - T_{2} - T_{3} + 1} \\ q_{2} &=& \frac{1}{2} \sqrt{-T_{1} + T_{2} - T_{3} + 1} \\ q_{3} &=& \frac{1}{2} \sqrt{-T_{1} - T_{2} + T_{3} + 1} \\ \end{array}$$