Matrices de Transformación Homogénea

Es una matriz de 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

• Composición: La matriz de transformación homogénea está formada por cuatro submatrices

  • una matriz de rotación ($R$)
  • un vector de translación ($P$)
  • una transformación de perspectiva ($F$)
  • un escalado global ($W$)

$$T = \begin{bmatrix}R_{3x3}&& P_{3x1}\\ F_{1x3}&& W_{1x1}\end{bmatrix}$$

En robótica industrial, se calculan las matrices $R$ y $P$, mientras que la matriz $F$ se considera nula y la matriz $W$ se considera la unidad.

$$T = \begin{bmatrix}R_{3x3}&& P_{3x1}\\ \begin{array}{ccc}0&0&0\end{array}&& 1\end{bmatrix}$$

La matriz de transformación homogénea sirve para conocer la orientación y la posición de un sistema con respecto a otro de referencia, es decir, la posición y orientación de una pieza con respecto a un robot. Y conocer la rotación y la traslación de un vector con respecto a un sistema de referencia fijo.

Traslación

Para explicar la traslación, se supone un sistema $O'ABC$ que está trasladado un vector $v = v_x\,\hat{i} + v_y\,\hat{j} + v_z\,\hat{k}$ con respecto a un sistema $OXYZ$. La matriz homogénea de traslación será:

$$T(v) = \begin{bmatrix} 1&0&0&v_x \\ 0&1&0&v_y \\ 0&0&1&v_z \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

Rotación

Cuando un sistema $O'ABC$ está rotado respecto a un sistema $OXYZ$, se pueden dar distintas matrices de rotación según los ejes de coordenadas:

Rotación en el eje X

La matriz de rotación respecto al eje $\overrightarrow{OX}$ es:

$$T_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0 \\ 0&\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

Rotación en el eje Y

La matriz de rotación respecto al eje $\overrightarrow{OY}$ es:

$$T_y(\phi) = \begin{bmatrix} \cos(\phi)&0&\sin(\phi)&0 \\ 0&1&0&0 \\ -\sin(\phi)&0&\cos(\phi)&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

Rotación en el eje Z

La matriz de rotación respecto al eje $\overrightarrow{OZ}$ es:

$$T_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta)&0&0 \\ \sin(\theta)&\cos(\theta)&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

Es importante notar que si se realiza primero una rotación y luego una traslación, el resultado es diferente a si se realiza primero la traslación y luego la rotación. La composición de estas transformaciones se logra mediante la multiplicación de las matrices correspondientes.